Objetivo

Este curso es una iniciación a la computación cuántica, en español y con rigor: pasa de un problema real al circuito que lo resolvería, sin humo. Cada afirmación lleva una cuenta que se puede repetir, una fuente que se puede abrir o la etiqueta «No verificado». Al terminar sabrás:

• explicar con cuentas, y no con metáforas, por qué se pasa de probabilidades a amplitudes;
• decir qué aporta el entrelazamiento frente a una correlación clásica;
• traducir un problema a un oráculo o a un modelo QUBO/Ising;
• decir qué tipo de ventaja hay en cada caso y cuándo un ordenador cuántico puede ser útil.

El primero está cubierto por A1 y A2; el segundo, a medias por A4, y se completa en A5; los dos últimos corresponden a la parte B, que todavía no está escrita (ver «Mapa del curso»).

Qué NO es la computación cuántica

• No es «probar todas las respuestas a la vez». Un ordenador cuántico puede preparar una superposición de muchas entradas, pero no devuelve «la mejor». Una medida de esa superposición entrega un resultado, y en muchos algoritmos el cálculo útil se diseña para que las amplitudes interfieran. Nielsen y Chuang advierten de que un estado así no equivale a evaluar al azar una de las alternativas, porque en un ordenador clásico esas alternativas se excluyen para siempre, y de que la información escondida en las amplitudes no se lee directamente (§1.4.2, p. 32; §1.4.3, pp. 33–34; §1.4.5, p. 38) ^[1].
• No es un ordenador clásico más rápido en todo. La ventaja, cuando existe, depende del problema y del modelo de cálculo. En este curso toda lección de algoritmos declara un tipo de ventaja, con su condición:
  • exponencial en consultas, solo frente a algoritmos clásicos deterministas exactos y con promesa (Deutsch–Jozsa);
  • cuadrática en consultas, óptima en el modelo de caja negra (Grover);
  • superpolinómica condicionada a que no exista un algoritmo clásico eficiente (Shor);
  • heurística, sin garantía (QAOA y VQE; Preskill, §6.1) ^[2];
  • condicionada a la carga de datos y al rango de la entrada, con descuantización conocida;
  • ninguna demostrada.
• Una ventaja en consultas no es una ventaja en tiempo. Contar consultas a una caja negra no cuenta el coste de construirla (por ejemplo, el acceso a memoria cuántica) ni el de las demás operaciones.
• No es un canal de comunicación instantánea. Un qubit de un par entrelazado, mirado solo, no da información sobre lo que se haga con el otro (lección A4).
• No es magia de la medida. Medir un qubit entrega un bit y cambia su estado (lección A3).

Para quién es

Para ingenieros e informáticos con álgebra lineal real, cálculo, probabilidad y programación, sin física cuántica previa. Los números complejos y el producto interno se repasan en la lección A3. No hace falta saber Qiskit: el código que se muestra (NumPy hasta A5; después, Qiskit o PennyLane) tiene su salida real al lado y se ejecuta con versiones fijadas.

Mapa del curso

El curso tiene 17 lecciones en dos partes: la parte A (fundamentos) va de lo probabilístico a lo cuántico, y la parte B (utilidad) va de un problema a un circuito. Cada lección declara sus prerrequisitos. Estado a 2026-11-03: este mapa es provisional; las lecciones pendientes figuran como «Próximamente» y su contenido puede ajustarse al escribirlas.

Cómo estudiar con la web

Cada lección sigue el mismo esquema: teoría con demostraciones plegadas, un ejemplo resuelto, «predice antes de simular», código verificado con su salida, a veces un widget (siempre con una alternativa en texto) y ejercicios con solución plegada. Al final hay un test de hasta 8 preguntas, con una pregunta de cada concepto clave, correcciones explicadas y la opción de repetir solo las falladas.

• Repaso: las preguntas que ves entran en un repaso espaciado con FSRS. Tras un acierto valoras «Adiviné», «Con dudas», «Bien» o «Fácil»; un fallo cuenta como el peor caso. La cola se ordena por lo que más se te olvidaría.
• Resumen: resultados por lección y parte, tarjetas pendientes, previsión a 7 y 30 días, y exportar, importar o reiniciar tu progreso.
• Tu progreso se guarda solo en tu navegador. No hay cuentas, ni seguimiento, ni peticiones a servidores externos. Si el navegador bloquea el almacenamiento, la web funciona y te avisa de que el progreso no se guardará. Exporta una copia si quieres conservarlo.

Convenciones

• Vectores y matrices: columnas, y las matrices actúan por la izquierda. Otros textos (Mitzenmacher–Upfal, Etessami) usan filas; la lección A1 lo explica.
• Estados: $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$, con el producto interno conjugando el primer vector y la esfera de Bloch con $|0\rangle$ arriba (tabla de notación de la lección A3).
• Varios qubits: el primero se escribe a la izquierda, $|q_0q_1\rangle$. Qiskit usa el orden contrario en sus cadenas de bits (lecciones A3 y A4).
• Los números decimales llevan coma en el texto; la salida del código conserva el punto.
• Cada resultado se etiqueta como demostrado, citado (se da la fuente y no se demuestra), propio (cálculo del curso, comprobado en código) o «No verificado».

Estado real del hardware

Datos a 2026-11-03. Volatilidad alta: se revisan cada pocos meses. Aquí se distingue siempre entre un resultado publicado (revisado por pares), un objetivo de una hoja de ruta de empresa y una nota de prensa, que es una afirmación de la empresa sin revisión por pares.

Lo que sí se puede decir con estas fuentes: hay resultados publicados de corrección de errores por debajo del umbral en memorias lógicas, y IBM y Quantinuum sitúan el ordenador tolerante a fallos a gran escala en 2029 como objetivo, y Google habla de un hito anterior, un qubit lógico de larga duración. En 2018, Preskill (arXiv:1801.00862, p. 1) escribió que un ordenador de 100 qubits podría superar a los clásicos en algunas tareas, pero no cambiaría el mundo de inmediato ^[2]. Lo que no se afirma aquí: que ya exista, o que no exista, una ventaja práctica útil.

Fuentes

Nivel: introductorio. Volatilidad: alta (la sección de hardware; revisión mensual o trimestral) y baja para el resto. Última verificación: 2026-11-03. Nielsen y Chuang (§1.4.2, p. 32; §1.4.3, pp. 33–34; §1.4.5, p. 38), Preskill (p. 1 y §6.1), el artículo de Google Quantum AI en Nature 638, pp. 920–926 y las cuatro páginas de empresa de la tabla de hardware, consultadas en la fecha indicada. Las notas de prensa se citan como afirmaciones de las empresas. Esta lección se ha escrito antes que el resto de la parte B por decisión del autor: su mapa y su tabla de hardware se revisan al cerrar cada parte.

1. Nielsen y Chuang, Quantum Computation and Quantum Information libro nielsen-chuang · consultada el 2026-11-02
2. Preskill, Quantum Computing in the NISQ era and beyond (se abre en una pestaña nueva) artículo preskill-nisq · consultada el 2026-11-03
3. Google Quantum AI, Quantum error correction below the surface code threshold (se abre en una pestaña nueva) artículo google-willow · consultada el 2026-11-03
4. Google Research, Dynamic surface codes open new avenues for quantum error correction (se abre en una pestaña nueva) institucional google-research-dynamic · consultada el 2026-11-03
5. IBM Quantum, hoja de ruta hacia la computación cuántica tolerante a fallos a gran escala (se abre en una pestaña nueva) institucional ibm-roadmap-2025 · consultada el 2026-11-03
6. IBM Newsroom, módulos criogénicos conectados (19 de agosto de 2026) (se abre en una pestaña nueva) institucional ibm-newsroom-2026 · consultada el 2026-11-03
7. Quantinuum, nota de prensa sobre corrección de errores en Helios (19 de octubre de 2026) (se abre en una pestaña nueva) institucional quantinuum-2026 · consultada el 2026-11-03

Qué es y qué problema resuelve

Un algoritmo aleatorizado no produce una salida: produce una distribución sobre salidas. Para razonar sobre él hace falta un lenguaje que diga qué distribución hay tras $t$ pasos, a dónde tiende y con qué probabilidad se equivoca. Ese lenguaje es el álgebra lineal: un vector de probabilidades, una matriz por paso y un producto de matrices para encadenar pasos. La computación cuántica conserva esta estructura y cambia los números permitidos (lección A2), así que conviene tenerla clara antes.

Esta lección responde a cuatro preguntas con cuentas: cómo se calcula la distribución tras $t$ pasos, cuándo y hacia qué distribución converge, cómo se analiza un algoritmo aleatorizado real (2-SAT) con una cadena, y qué significa que un problema esté en BPP y cómo se reduce su error.

Prerrequisitos: probabilidad básica y álgebra lineal real. Tipo de ventaja: no procede (son algoritmos clásicos; no hay comparación con un ordenador cuántico). Notación: vectores columna y matrices que actúan por la izquierda. Las fuentes más usadas aquí (Mitzenmacher–Upfal, Etessami) escriben vectores fila, $p(t)=p(t-1)P$; la sección 1 traduce una convención a la otra y desde ahí no se mezclan.

Análogo clásico

El punto de partida es el caso sin azar. Un sistema determinista es un grafo dirigido en el que cada vértice tiene exactamente una flecha de salida, con canicas colocadas en los vértices. El estado es el vector columna $X$ con $x_i$ canicas en el vértice $i$, y un paso mueve todas las canicas de $i$ al vértice al que apunta su flecha (Yanofsky–Mannucci, §3.1, pp. 74–78) ^[1]. La matriz del sistema tiene $M[i,j]=1$ si y solo si hay una flecha de $j$ a $i$, el estado tras un paso es $MX$, y las potencias cuentan caminos: $M^k[i,j]=1$ si y solo si hay un camino de longitud $k$ de $j$ a $i$ (ec. 3.11, p. 78).

Por ejemplo, con tres vértices y flechas $1\to2$, $2\to3$ y $3\to3$:

Este esquema (estados = vectores columna, dinámica = matrices, varios pasos = producto) es el que se generaliza a probabilidades en esta lección y a amplitudes en A2.

Cuándo usarlo y cuándo NO

Úsalo para modelar procesos con un número finito de estados en los que el siguiente estado dependa solo del actual (un paseo aleatorio, un canal con errores en ráfaga) y para analizar algunos algoritmos aleatorizados a través de una cadena auxiliar (sección 7). No lo uses cuando el futuro dependa de más historia que el estado actual (hay que ampliar el estado), ni para estados infinitos sin más cuidado: aquí todo es finito. Y no confundas la aleatoriedad con el poder de cómputo: la amplificación de la sección 8 reduce el error, no vuelve fácil un problema difícil.

Teoría

1. Vector de probabilidades y matriz estocástica

Un estado probabilístico es un vector $p\in\mathbb{R}^n$ con $p_i\ge0$ y $\sum_ip_i=1$. Un paso es una matriz estocástica $S$ (entradas $\ge0$ y cada columna suma 1) y el nuevo estado es $p'=Sp$. La entrada $S_{ij}$ es la probabilidad de pasar de $j$ a $i$.

La convención de filas de Mitzenmacher–Upfal (cap. 7, pp. 169–170) ^[2] y de Etessami (p. 6) ^[3] escribe $P_{ij}$ para ir de $i$ a $j$ (filas que suman 1) y $p(t)=p(t-1)P$. Las dos son la misma cuenta con $S=P^T$ y $p\mapsto p^T$. Aquí se usan siempre columnas.

El producto de estocásticas es estocástica: si $\mathbf 1$ es el vector de unos, $\mathbf 1^TS_2S_1=\mathbf 1^TS_1=\mathbf 1^T$, es decir, las columnas de $S_2S_1$ suman 1.

2. Cadenas de Markov

Una cadena de Markov es un proceso $X_0,X_1,\dots$ en el que $\Pr(X_t=i\mid X_{t-1}=j,\ \text{todo el pasado})=S_{ij}$: el futuro depende del presente y no de cómo se llegó a él. Esa es la propiedad sin memoria (M–U, Def. 7.1, p. 168), y la matriz $S$ define la cadena entera. La distribución tras $t$ pasos es $p(t)=S^tp(0)$, y la entrada $(S^m)_{ij}$ es la probabilidad de ir de $j$ a $i$ en exactamente $m$ pasos, que es la suma, sobre todos los caminos de longitud $m$, del producto de las probabilidades de sus aristas (pp. 169–170). La misma suma sobre caminos será la regla de A2, con amplitudes en lugar de probabilidades.

Un ejemplo con dos estados, «bit enviado bien» (0) y «bit corrompido» (1), usado para errores en ráfaga (M–U, Fig. 7.2, pp. 186–187): con probabilidad $p$ se pasa de 0 a 1 y con probabilidad $q$ de 1 a 0, es decir, $S=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix}$.

3. Doblemente estocásticas

Una matriz es doblemente estocástica si sus filas también suman 1 (Yanofsky–Mannucci, §3.2, p. 80). La moneda justa lo es. Para ellas la distribución uniforme $u=\tfrac1n\mathbf 1$ no cambia, porque $(Su)_i=\tfrac1n\sum_jS_{ij}=\tfrac1n$.

4. Distribución estacionaria

Una distribución estacionaria es una distribución $\pi$ que un paso no cambia, $S\pi=\pi$ (en filas, $\pi P=\pi$; M–U, Def. 7.8, p. 182; Etessami, p. 13). Se calcula resolviendo el sistema lineal $(S-I)\pi=0$ junto con $\sum_i\pi_i=1$. Toda cadena finita tiene al menos una (M–U, p. 185; se cita sin demostrar).

Para la cadena de dos estados, el equilibrio entre salir de 0 y entrar en 0 da $p\,\pi_0=q\,\pi_1$ y, con $\pi_0+\pi_1=1$, $\pi=\big(\tfrac q{p+q},\tfrac p{p+q}\big)$. Con $p=0{,}005$ y $q=0{,}1$ sale $\pi_0=0{,}952$: más del 95 % de los bits llegan bien (M–U, p. 187). Con cuatro estados, la matriz de M–U (p. 185), en columnas,

Se comprueba fila a fila: por ejemplo $\tfrac12\cdot63+\tfrac14\cdot74=50$. El libro no da esta solución; está calculada y verificada aquí.

5. Convergencia

Que exista una estacionaria no dice que la cadena tienda a ella. Una cadena es irreducible si desde cada estado se puede llegar a cualquier otro (el grafo es fuertemente conexo; Etessami, p. 6) y aperiódica si ningún estado tiene periodo mayor que 1. El periodo de un estado es el mayor $\Delta$ tal que solo se puede volver a él en un número de pasos múltiplo de $\Delta$ (el máximo común divisor de las longitudes de sus ciclos; M–U, Def. 7.6, p. 180). En una cadena irreducible todos los estados tienen el mismo periodo, y basta un bucle ($S_{ii}>0$) en un estado para que valga 1. Una cadena finita, irreducible y aperiódica es ergódica (M–U, Cor. 7.6, p. 181; Etessami, p. 13, las define así). Para una cadena finita irreducible la estacionaria ya es única (Etessami, p. 13; se cita sin demostrar); la aperiodicidad añade la convergencia.

Teorema (M–U, Teorema 7.7, p. 183, enunciado allí para cadenas ergódicas; citado, no demostrado aquí). Una cadena finita, irreducible y aperiódica tiene una única distribución estacionaria $\pi$ y $\lim_{t\to\infty}S^tp(0)=\pi$ para cualquier $p(0)$.

Las dos hipótesis hacen falta. La cadena periódica $S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ es irreducible, con periodo 2 (solo se vuelve a un estado en un número par de pasos); tiene estacionaria $(\tfrac12,\tfrac12)$, pero desde $e_1$ alterna $e_2,e_1,e_2,\dots$ y no converge. En la reducible $S=\begin{pmatrix}1&0&\tfrac12\\0&1&\tfrac12\\0&0&0\end{pmatrix}$, los estados 1 y 2 son absorbentes (con un bucle, así que no son periódicos) y el 3 va a uno u otro con probabilidad $\tfrac12$: todas las $(a,1-a,0)$ son estacionarias (no hay una única) y el límite depende de cómo se empieza, $(1,0,0)$ desde $e_1$ y $(\tfrac12,\tfrac12,0)$ desde $e_3$.

6. Sistemas independientes

Si dos variables independientes tienen distribuciones $x$ e $y$, la distribución conjunta es el producto de Kronecker $x\otimes y$ (Nannicini, ej. 1, p. 4) ^[4]. Con $x=(0{,}25,0{,}75)$ e $y=(0{,}2,0{,}2,0{,}2,0{,}4)$ (los valores de $Y$ son 00, 01, 10 y 11) sale $(0{,}05;0{,}05;0{,}05;0{,}1;0{,}15;0{,}15;0{,}15;0{,}3)$. No toda distribución conjunta es un producto: la que da $\tfrac12$ a $(0,0)$ y a $(1,1)$ reúne dos variables correlacionadas, y no se puede escribir como $x\otimes y$: sus marginales son $(\tfrac12,\tfrac12)$ y el producto de las marginales daría $\tfrac14$ en cada caso. (Dicho con matrices: un producto $x\otimes y$ equivale a la matriz $xy^T$ de entradas $\Pr(X=a,Y=b)$, que tiene rango 1, y la correlacionada tiene rango 2.) La lección A4 usa esta diferencia.

7. Un algoritmo aleatorizado como cadena: 2-SAT

Una fórmula 2-SAT es una conjunción de cláusulas con dos literales (un literal es una variable o su negación, por ejemplo $(x_1\lor\lnot x_2)$). El 2-SAT se resuelve en tiempo polinómico sin azar (M–U, p. 171): el ejemplo sirve para aprender a analizar un algoritmo aleatorizado con una cadena, no para mostrar una ventaja. El algoritmo (M–U, Algoritmo 7.1, p. 171) ^[2] parte de una asignación cualquiera y repite hasta $2mn^2$ veces: elegir una cláusula no satisfecha y cambiar al azar el valor de una de sus dos variables; si en algún momento todas las cláusulas se cumplen, devuelve la asignación; si no, responde «insatisfacible». Aquí $n$ es el número de variables y $m$ un parámetro.

Resultado (M–U, Lema 7.1 y Teorema 7.2, p. 174). Si la fórmula es insatisfacible, la respuesta siempre es correcta. Si es satisfacible, el algoritmo encuentra una asignación con probabilidad al menos $1-2^{-m}$. El error es de un solo lado: nunca devuelve una asignación falsa, porque la comprueba.

Con $n=10$ variables, el número esperado de pasos es a lo sumo 100, y con $m=10$ el algoritmo hace $2mn^2=2000$ pasos y falla con probabilidad a lo sumo $2^{-10}<0{,}001$.

8. BPP y amplificación

Un algoritmo probabilístico en tiempo polinómico tiene un número polinómico de pasos y usa monedas independientes. La clase BPP reúne los problemas de decisión para los que existe uno que acierta con probabilidad al menos $1-\varepsilon$ para cada entrada, con $\varepsilon<\tfrac12$ constante (Kitaev–Shen–Vyalyi, Def. 4.1, p. 36) ^[5]; Aaronson usa $\tfrac13$ (cap. 7, pp. 79–80) ^[6]. La probabilidad es sobre las monedas del algoritmo, y la entrada es siempre la peor posible: no se promedia sobre entradas (Aaronson, p. 75).

La constante no importa, por la amplificación: se ejecuta el algoritmo $k$ veces con monedas independientes y se responde lo que diga la mayoría.

Teorema (Kitaev–Shen–Vyalyi, pp. 36–37). El error de la mayoría de $k$ ejecuciones es a lo sumo $\lambda^k$ (Kitaev–Shen–Vyalyi lo escriben con «<»), con $\lambda=2\sqrt{\varepsilon(1-\varepsilon)}<1$. Por tanto, para error $\delta$ basta $k=\Theta(\log(1/\delta))$, y el algoritmo sigue siendo polinómico.

Con $\varepsilon=\tfrac13$, $\lambda=0{,}943$ y el error exacto de la mayoría baja así: $k=1$, $0{,}333$; $k=11$, $0{,}122$; $k=51$, $6{,}9\cdot10^{-3}$; $k=101$, $2{,}7\cdot10^{-4}$. Hacen falta $k=193$ para bajar de $10^{-6}$. La cota $\lambda^k$ es holgada, pero basta para ver la caída exponencial.

Hay dos clases vecinas. RP exige aceptar con probabilidad $>\tfrac12$ si la respuesta es sí y con probabilidad 0 si es no: error de un solo lado, como el 2-SAT. PP pide solo $>\tfrac12$ para «sí» y $\le\tfrac12$ para «no», sin separación; un algoritmo puede aceptar con $\tfrac12+2^{-n}$ o con $\tfrac12-2^{-n}$, y con $n=5000$, por ejemplo, distinguirlo exigiría muestrear más que la edad del universo («recuento de Florida», Aaronson, pp. 78–80). Por eso PP no se toma como modelo de lo que se resuelve con azar en la práctica; BPP es la idealización estándar (Aaronson, p. 80).

Ejemplo resuelto

Cadena de dos estados con $p=0{,}2$ y $q=0{,}3$, es decir $S=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$, que empieza en el estado 0, $p(0)=(1,0)$.

Dos pasos. $p(1)=Sp(0)=(0{,}8;0{,}2)$ y $p(2)=Sp(1)=(0{,}8\cdot0{,}8+0{,}3\cdot0{,}2;\ 0{,}2\cdot0{,}8+0{,}7\cdot0{,}2)=(0{,}70;0{,}30)$. Se obtiene lo mismo con la suma sobre caminos: de 0 a 0 en dos pasos hay dos caminos, $0\to0\to0$ ($0{,}8\cdot0{,}8$) y $0\to1\to0$ ($0{,}2\cdot0{,}3$), con suma $0{,}70$.

Estacionaria. El equilibrio $p\,\pi_0=q\,\pi_1$ da $0{,}2\,\pi_0=0{,}3\,\pi_1$, es decir $\pi=(0{,}6;0{,}4)$. Se comprueba: $S\pi=(0{,}8\cdot0{,}6+0{,}3\cdot0{,}4;\ 0{,}2\cdot0{,}6+0{,}7\cdot0{,}4)=(0{,}60;0{,}40)$.

Convergencia. La cadena es irreducible y aperiódica (todas las entradas son positivas), así que por el teorema $p(t)\to\pi$ desde cualquier punto de partida. Las distribuciones se acercan: $p(2)=(0{,}70;0{,}30)$ y $p(3)=(0{,}65;0{,}35)$, y la distancia a $\pi$ en el primer estado se reduce a la mitad en cada paso, porque el segundo valor propio de $S$ es $0{,}5$.

Predice antes de simular

Antes de ejecutar el código de la sección siguiente (o de usar el widget que viene después), predice y apunta:

1. Con la cadena periódica $S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ y $p(0)=(1,0)$, ¿cuál es $p(5)$?
2. Mayoría de 11 ejecuciones de un algoritmo que se equivoca con probabilidad $\tfrac13$: ¿el error exacto es menor, igual o mayor que $\tfrac13$? ¿Aproximadamente cuánto?
3. En la cadena de cuatro estados, desde el estado 1, ¿en qué paso baja por primera vez la distancia máxima a $\pi$ por debajo de $0{,}01$: en el 3, en el 5 o en el 8?

Código verificado

El código se ejecuta con NumPy 2.5.4 (Python 3.13.5) y su salida es la que se muestra. El script verify/01-computacion-probabilistica.py comprueba además todas las cifras de la lección y que el código y la salida mostrados coinciden.

import numpy as np
from math import comb

# Cadena de 4 estados (Mitzenmacher–Upfal, p. 185) escrita por columnas: S = P^T
P = np.array([[0, 1/4, 0, 3/4],
              [1/2, 0, 1/3, 1/6],
              [1/4, 1/4, 1/2, 0],
              [0, 1/2, 1/4, 1/4]])
S = P.T
p = np.array([1.0, 0, 0, 0])
for _ in range(200):
    p = S @ p
print("tras 200 pasos:", np.round(p, 6))
pi = np.array([50, 63, 74, 64]) / 251
print("π = (50,63,74,64)/251:", np.round(pi, 6), "S π = π:", np.allclose(S @ pi, pi))

# Mayoría de k ejecuciones de un algoritmo que falla con probabilidad 1/3
def error_mayoria(k, eps):
    return sum(comb(k, i) * (1 - eps) ** i * eps ** (k - i) for i in range(k // 2 + 1))
for k in (1, 11, 51, 101):
    print(f"k = {k:3d}: error {error_mayoria(k, 1/3):.2e}")

tras 200 pasos: [0.199203 0.250996 0.294821 0.25498 ]
π = (50,63,74,64)/251: [0.199203 0.250996 0.294821 0.25498 ] S π = π: True
k =   1: error 3.33e-01
k =  11: error 1.22e-01
k =  51: error 6.89e-03
k = 101: error 2.72e-04

Widget

Elige una de cuatro cadenas, un estado inicial y aplica pasos. El widget muestra la matriz $S$ (cada columna suma 1), la distribución $p(t)$ con una barra por estado, la estacionaria $\pi$ si es única y la distancia máxima entre $p(t)$ y $\pi$. Las dos primeras cadenas son ergódicas (la de dos estados de la sección 2 y la de cuatro de la sección 4); la tercera es periódica y la cuarta, reducible. El widget solo repite las cuentas de esta lección, no participa en el Repaso y se maneja con el teclado (Tab para moverte entre controles; Intro o Espacio para pulsar). El valor numérico de cada estado está también en el párrafo «Paso t · distribución», que se anuncia al aplicar un paso; las barras son solo una ayuda visual. Sus resultados se han comprobado contra NumPy.

Errores frecuentes y límites

• «Todas las cadenas convergen.» No: hacen falta irreducibilidad y aperiodicidad. La periódica y la reducible de la sección 5 son los contraejemplos.
• Confundir estacionaria con límite. Que $S\pi=\pi$ no implica $S^tp\to\pi$.
• Mezclar filas y columnas. Con $P$ (filas) se escribe $\pi P=\pi$; con $S=P^T$ (columnas), $S\pi=\pi$. Si se mezclan, las cuentas salen traspuestas.
• Promediar sobre entradas. El error de un algoritmo aleatorizado es sobre sus monedas, con la peor entrada. «Funciona en la mayoría de entradas» es otra cosa.
• Creer que pocas repeticiones bastan para un error astronómico. Con error $\tfrac13$, la mayoría de 301 ejecuciones deja un error exacto del orden de $10^{-9}$; para $2^{-100}$ hacen falta $1121$.
• Confundir BPP con PP. PP admite probabilidades de acierto de $\tfrac12+2^{-n}$ y no se toma como modelo de lo que se resuelve con azar en la práctica.
• Dar por hecho que el azar aporta potencia. La amplificación reduce el error; no vuelve fácil un problema difícil.

Límites. Cadenas finitas y en tiempo discreto. El Teorema 7.7 se cita sin demostrar, y la dominación de la cadena $X$ por la pesimista $Y$ (2-SAT) también. No se trata la velocidad de convergencia más que en un ejemplo.

Ejercicios

Ejercicio 1. Sea $S=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2&0\\0{,}5&0{,}3&0{,}4\\0&0{,}5&0{,}6\end{pmatrix}$. (a) Comprueba que es estocástica. (b) Calcula $p(2)$ partiendo de $p(0)=(1,0,0)$. (c) Calcula la probabilidad de ir del estado 1 al 3 en exactamente dos pasos con la suma sobre caminos.

Ejercicio 2. Una cadena de dos estados tiene $p=0{,}2$ (de 0 a 1) y $q=0{,}3$ (de 1 a 0). Halla su estacionaria y la fracción de tiempo a largo plazo en el estado 1.

Ejercicio 3. Para $S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$: (a) halla una estacionaria; (b) di qué ocurre con $S^tp(0)$ para $p(0)=(1,0)$; (c) di qué hipótesis del teorema de convergencia falla.

Ejercicio 4. Un algoritmo probabilístico se equivoca con probabilidad $\varepsilon=\tfrac14$. Calcula el error exacto de la mayoría de $k=3$ y de $k=5$ ejecuciones, y da la cota $\lambda^k$ para $k=5$.

Ejercicio 5 (avanzado). Demuestra que si $S$ es doblemente estocástica, la distribución uniforme es estacionaria, y da una cadena de dos estados estocástica cuya estacionaria no es uniforme.

Fuentes

Nivel: introductorio. Volatilidad: baja (teoría; revisión anual). Última verificación: 2026-11-02. Mitzenmacher y Upfal (cap. 7: pp. 168–174, 180–187), Etessami (pp. 6, 13), Yanofsky y Mannucci (§3.1–3.2, pp. 74–88), Aaronson (Quantum Computing since Democritus, cap. 7, pp. 73–80), Kitaev–Shen–Vyalyi (§4.1, pp. 36–37) y Nannicini (ej. 1, p. 4). Las demostraciones de la sección 7 (salvo el paso citado) y de la amplificación están reescritas a partir de Mitzenmacher–Upfal (pp. 173–174) y Kitaev–Shen–Vyalyi (p. 37) y verificadas con verify/01-computacion-probabilistica.py; las de las secciones 1 y 3 son propias. El Teorema 7.7, la existencia de una estacionaria en toda cadena finita, la unicidad en las irreducibles y la dominación de $X$ por $Y$ se citan sin demostrar.

1. Yanofsky y Mannucci, Quantum Computing for Computer Scientists libro yanofsky-mannucci · consultada el 2026-11-02
2. Mitzenmacher y Upfal, Probability and Computing libro mitzenmacher-upfal · consultada el 2026-11-02
3. Etessami, Analysis of Probabilistic Processes and Automata Theory libro etessami · consultada el 2026-11-02
4. Nannicini, An Introduction to Quantum Computing, Without the Physics (se abre en una pestaña nueva) artículo nannicini · consultada el 2026-11-02
5. Kitaev, Shen y Vyalyi, Classical and Quantum Computation libro kitaev-shen-vyalyi · consultada el 2026-11-02
6. Aaronson, Quantum Computing since Democritus libro aaronson-democritus · consultada el 2026-11-02

Qué es y qué problema resuelve

Un algoritmo aleatorizado clásico se puede ver como un vector de probabilidades que se transforma paso a paso con matrices y que se lee al final. La computación cuántica conserva esa estructura (un vector, una matriz por paso, una medida al final), pero cambia qué números puede contener el vector y qué matrices se permiten. Esta lección responde con cuentas, no con metáforas, a una sola pregunta: ¿por qué no basta con probabilidades?

El punto de partida es un hecho que las probabilidades no pueden explicar. Existe un dispositivo que, solo, se comporta como una moneda justa, pero que, usado dos veces seguidas, devuelve siempre el estado inicial ^[1] (Imre–Balázs, §2.1, pp. 7–12). Veremos que con números no negativos es imposible y que con números que pueden ser negativos (las amplitudes) sale solo.

Al terminar la lección sabrás:

• calcular con amplitudes y obtener probabilidades con la regla de Born;
• predecir cuándo dos caminos se refuerzan y cuándo se cancelan;
• decir qué conserva una matriz estocástica, qué conserva una unitaria y por qué no son lo mismo;
• explicar qué hace especial a la norma 2 y qué no demuestra ese argumento.

Prerrequisitos: álgebra lineal con números reales. Los complejos no hacen falta: aparecen en la lección A3 (un ejemplo de la sección 3 los adelanta y puede saltarse). La sección siguiente repasa de A1 lo mínimo. Tipo de ventaja: no procede (no es una lección de algoritmos ni de utilidad). Notación: vectores columna y matrices que actúan por la izquierda. Escribimos $|0\rangle=(1,0)^T$ y $|1\rangle=(0,1)^T$ solo como etiquetas de los dos estados; la notación se fija en A3.

Análogo clásico

Recordatorio mínimo de A1. El estado de un sistema aleatorio con $n$ resultados posibles es un vector de probabilidades $p\in\mathbb{R}^n$ con $p_i\ge 0$ y $\sum_i p_i=1$ (su 1-norma vale 1). Un paso es una matriz estocástica $S$: entradas no negativas y cada columna suma 1. El nuevo estado es $p'=Sp$ ^[2] (Aaronson, cap. 9, p. 113). Aviso: otros textos (Mitzenmacher–Upfal, Etessami) usan vectores fila y escriben $p'=pP$; aquí no se mezclan las dos convenciones.

Dos pasos seguidos son el producto $S_2S_1$, cuya entrada $(S_2S_1)_{ij}=\sum_k (S_2)_{ik}(S_1)_{kj}$ es una suma sobre caminos $j\to k\to i$ de productos de probabilidades. Todos los términos son no negativos, así que sumar caminos solo puede aumentar una probabilidad.

El ejemplo canónico es la moneda justa:

Lanzarla dos veces equivale a lanzarla una: no tiene memoria. Además $M$ es doblemente estocástica (las filas también suman 1).

Cuándo usarlo y cuándo NO

Úsalo cuando modeles un sistema aislado con pocos estados cuya evolución es reversible entre medidas y quieras entender de dónde sale la interferencia. Es el modelo de cálculo en el que se basan los algoritmos cuánticos de las partes siguientes.

No lo uses para describir azar clásico: un algoritmo aleatorizado se modela bien con matrices estocásticas y las amplitudes no dan "mejor azar". Tampoco para la incertidumbre por ignorancia (no sé en qué estado está el sistema), que sigue siendo una distribución de probabilidad sobre estados; combinar las dos cosas exige las matrices de densidad, fuera de esta lección. Esta lección no deriva la teoría de la física: muestra qué se gana al pasar de probabilidades a amplitudes y qué conserva cada modelo.

Teoría

1. Una moneda que se deshace

Pongamos dos cajas iguales en serie, cada una con probabilidades de transición $p_{kl}$. Si cada caja es una moneda justa, el conjunto es otra moneda justa (ec. 2.1 de Imre–Balázs, p. 8). El dispositivo del que hablamos hace algo distinto: solo parece una moneda justa y, en serie, equivale a la identidad (pp. 8–10).

Proposición 1 (demostrada). Una matriz estocástica $2\times2$ cuyo cuadrado es la identidad es $I$ o $X=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. En particular, ninguna matriz estocástica con entradas estrictamente entre 0 y 1 es la identidad al repetirla.

Demostración. Una estocástica $2\times 2$ es $S=\begin{pmatrix}a&b\\1-a&1-b\end{pmatrix}$ con $a,b\in[0,1]$. Entonces $(S^2)_{01}=b\,(a+1-b)$ y $(S^2)_{10}=(1-a)(a+1-b)$. Si $S^2=I$, ambas son 0. Caso $b=0$: queda $(1-a)(a+1)=0$, luego $a=1$ y $S=I$. Caso $b\ne 0$: $a+1-b=0$, es decir $b=a+1$, y como $b\le1$ y $a\ge0$ resulta $a=0,\ b=1$ y $S=X$. $\square$

Hace falta, entonces, un modelo en que "mezclar" pueda deshacerse. La salida de Imre–Balázs es usar números $c_{kl}$ con $c_{00}=c_{01}=c_{10}=\tfrac1{\sqrt2}$ y $c_{11}=-\tfrac1{\sqrt2}$ (ec. 2.2, p. 10) ^[1]: con esa matriz, aplicada dos veces, las sumas dan $1,0,0,1$.

2. Amplitudes y regla de Born

Un estado es ahora un vector $a\in\mathbb{R}^n$ de amplitudes con $\sum_i a_i^2=1$ (su 2-norma vale 1). La regla de Born dice que, al medir, el resultado $i$ aparece con probabilidad $p_i=a_i^2$ (Lipton–Regan, §1.2, pp. 3–4; Aaronson, cap. 9, p. 113) ^[3]. Las amplitudes pueden ser negativas; las probabilidades, no.

Ejemplos. $(\tfrac35,\tfrac45)$ está normalizado y da probabilidades $\tfrac9{25}$ y $\tfrac{16}{25}$. El vector $(1,1)$ no está normalizado (su norma al cuadrado es 2): hay que dividir entre $\sqrt2$. Y la amplitud $-\tfrac1{\sqrt2}$ da probabilidad $\tfrac12$: el signo no se ve en una medida.

3. Sumar por caminos: interferencia

Un paso es una matriz $U$ y el estado pasa a $a'=Ua$. Dos pasos son el producto $U_2U_1$, y su entrada $(U_2U_1)_{ij}=\sum_k (U_2)_{ik}(U_1)_{kj}$ es otra vez una suma sobre caminos, pero ahora de amplitudes con signo. La probabilidad se calcula al final, elevando al cuadrado la suma, no sumando los cuadrados de cada camino.

Sea $H=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$. Para ir de $|0\rangle$ a $|0\rangle$ en dos pasos hay dos caminos, ambos con amplitud $\tfrac12$: se suman y dan 1 (interferencia constructiva). Para ir de $|0\rangle$ a $|1\rangle$ los caminos valen $\tfrac12$ y $-\tfrac12$: se cancelan y dan 0 (interferencia destructiva). Con la moneda justa esos mismos dos caminos valen $\tfrac14$ y $\tfrac14$ y suman $\tfrac12$. Resultado: $H\,H|0\rangle=|0\rangle$, mientras que $M\,M|0\rangle=(\tfrac12,\tfrac12)$.

La cancelación es el fenómeno que no existe con probabilidades: no pueden restarse. Aaronson dice que esa cancelación entre amplitudes positivas y negativas puede verse como lo que distingue la mecánica cuántica de la teoría clásica de la probabilidad (cap. 9, p. 115) ^[2]. (Adelanto de A3, que puede saltarse: con amplitudes complejas, $|5+3i|^2=34$ y $|{-3}-2i|^2=13$, pero $|(5+3i)+(-3-2i)|^2=5$; Yanofsky–Mannucci, ej. 3.3.1, p. 89 ^[4].)

4. Matrices unitarias y la 2-norma

Una matriz real $U$ es ortogonal (la versión real de unitaria) si $U^TU=I$, es decir, si sus columnas son ortonormales. Entonces $U^{-1}=U^T$: se puede deshacer.

Proposición 2 (demostrada). $U$ conserva la 2-norma de todo vector si y solo si $U^TU=I$.

Demostración. Si $U^TU=I$: $\|Ua\|^2=a^TU^TUa=a^Ta=\|a\|^2$ (es el Lema 3.3 de Lipton–Regan, pp. 18–19). Recíprocamente, si $U$ conserva la norma, conserva el producto escalar, porque $\langle a,b\rangle=\tfrac14(\|a+b\|^2-\|a-b\|^2)$ y $U$ es lineal; tomando $a,b$ en la base canónica sale $U^TU=I$. $\square$

Por tanto una matriz ortogonal lleva estados normalizados en estados normalizados y es reversible. Aaronson la presenta como la matriz más general que lleva un vector unitario en la 2-norma en otro, igual que la estocástica es la más general en la 1-norma (cap. 9, p. 113). Ejemplos: las permutaciones, $H$ y la rotación $R$ de 45° (ejercicio 1). Que las unitarias conserven la norma es también una propiedad que Nannicini enuncia como conocida (Observación 5, §3, p. 11) ^[5].

5. Estocástica frente a unitaria

$M$ no es ortogonal (envía $|0\rangle$ a un vector de norma $\tfrac1{\sqrt2}$) y $H$ no es estocástica (tiene una entrada negativa). ¿Hay matrices de ambos tipos?

Proposición 3 (demostrada). Una matriz estocástica y ortogonal a la vez es una matriz de permutación.

Demostración. Sea $x$ una columna: $x_i\in[0,1]$, $\sum_i x_i=1$ y $\sum_i x_i^2=1$. Como $x_i^2\le x_i$, con igualdad solo si $x_i\in\{0,1\}$, de $\sum_i(x_i-x_i^2)=0$ sigue que todos los $x_i$ son 0 o 1, y como suman 1 hay exactamente un 1. Las columnas son ortogonales, luego los 1 están en filas distintas. $\square$

La Proposición 3 dice que ninguna matriz estocástica que mezcle algo conserva la 2-norma. Y el ejercicio 5 muestra que tampoco hay estocásticas con inversa estocástica salvo las permutaciones: con probabilidades, la única dinámica reversible es la que no mezcla nada (permutar estados). Con amplitudes aparece un continuo de dinámicas reversibles que sí mezclan, y la interferencia es lo que se obtiene a cambio.

6. Mismas probabilidades, distinto estado

Sean $|+\rangle=\tfrac1{\sqrt2}(1,1)$ y $|-\rangle=\tfrac1{\sqrt2}(1,-1)$. Al medirlos dan la misma distribución $(\tfrac12,\tfrac12)$. Sin embargo $H|+\rangle=|0\rangle$ y $H|-\rangle=|1\rangle$: después de otro paso se distinguen con certeza. En el modelo clásico un vector de probabilidades es el estado; aquí el estado contiene más información que las probabilidades que da al medir, y esa información está en los signos relativos.

El signo global no cuenta: $U(-a)=-Ua$ y las probabilidades son las mismas. Lo que cuenta es el signo de una amplitud respecto de otra. Con números complejos esto se convierte en la distinción entre fase global y fase relativa (A3).

7. Medir a mitad del cálculo

La regla de Born se aplica en el momento de medir. Si medimos después del primer $H$, obtenemos 0 o 1 con probabilidad $\tfrac12$ y el estado pasa a ser $|0\rangle$ o $|1\rangle$. El segundo $H$ da entonces $(\tfrac12,\tfrac12)$ en los dos casos. Sin la medida intermedia, el resultado era $(1,0)$. Medir en medio destruye la interferencia (en el interferómetro de Imre–Balázs, un detector entre los dos divisores de haz hace que el resultado vuelva a ser aleatorio, p. 11) ^[1]. En un sistema clásico, mirar la moneda a mitad del proceso no cambia la estadística final. La medida se formaliza en A5.

8. ¿Por qué la 2-norma?

Aaronson propone mirar la mecánica cuántica como una teoría de la probabilidad que usa la 2-norma en lugar de la 1-norma (cap. 9, p. 112) ^[2]. ¿Qué otras normas servirían? La $p$-norma de un vector es $\|v\|_p=\big(\sum_i|v_i|^p\big)^{1/p}$ (con $p=1$ es la de las probabilidades y con $p=2$, la euclídea). Una permutación con signos es una matriz con un único $\pm1$ en cada fila y cada columna y ceros en el resto: reordena las componentes y a lo sumo cambia algún signo, es decir, no mezcla nada. Para tener una teoría como la de las amplitudes, hace falta una $p$ tal que existan transformaciones lineales reversibles y no triviales (que sí mezclen) que conserven su norma.

Proposición 4 (demostrada para $N=2$ y $p=1$). Las matrices reales $2\times2$ que conservan la 1-norma de todos los vectores (de cualquier signo) son las permutaciones con signos.

Demostración. Sea $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Con $e_0$ y $e_1$: $|a|+|c|=1$ y $|b|+|d|=1$. Con $(1,1)$ y $(1,-1)$, sumando: $(|a+b|+|a-b|)+(|c+d|+|c-d|)=4$. Como $|a+b|+|a-b|=2\max(|a|,|b|)$, resulta $\max(|a|,|b|)+\max(|c|,|d|)=2$. Si los máximos están en $a$ y $c$ (o en $b$ y $d$), la suma vale 1, no 2. Quedan dos casos: máximos en $a$ y $d$, o en $b$ y $c$. En el primero, $|a|+|d|=2$ con $|a|,|d|\le1$ obliga a $|a|=|d|=1$, y entonces $c=b=0$ por las dos primeras igualdades. El otro caso es simétrico. En ambos la matriz es una permutación con signos. Recíprocamente, toda permutación con signos conserva la 1-norma, porque solo reordena las componentes y cambia signos. $\square$

Con $p=1$ y vectores de cualquier signo no sale nada nuevo, y la teoría clásica funciona solo porque se restringe a vectores no negativos, donde aparecen las estocásticas. Con $p=2$ sí hay un continuo: todas las rotaciones. Para todo $p>0$ distinto de 2 la situación es la de $p=1$: en su artículo «Is Quantum Mechanics An Island In Theoryspace?» (Sec. 2), Aaronson demuestra que las únicas transformaciones lineales que conservan la $p$-norma de todos los vectores son las permutaciones con signos (matrices diagonales generalizadas) ^[6]. Esa demostración se cita, no se reproduce aquí.

El libro da además un argumento heurístico de recuento: con $p=2$ hay $N+\binom N2$ restricciones sobre las $N^2$ entradas y quedan $\tfrac{N(N-1)}2$ grados de libertad; con $p=4$ las restricciones crecen más deprisa que $N^2$ (Aaronson, cap. 9, p. 118). Es heurístico: el propio autor dice que no demuestra nada.

Qué no demuestra esto: que la naturaleza tenga que usar la 2-norma. Dice que, entre las $p$-normas, la 2-norma es la única que permite una dinámica reversible y no trivial en un modelo lineal. Por qué las amplitudes son complejas y no solo reales se discute en A3; allí también son argumentos, no una derivación.

Ejemplo resuelto

El ciclo de 4 vértices (Lipton–Regan, §3.5, Fig. 3.1, pp. 21–23) ^[3] muestra el mismo contraste sobre un grafo. Numeramos los vértices del 1 al 4 y $e_1,\dots,e_4$ son los vectores canónicos. La matriz de un paseo aleatorio y la matriz unitaria que obtiene el libro cambiando un signo y el factor son:

$A$ es doblemente estocástica pero no ortogonal: la norma al cuadrado de cada fila es $\tfrac12$. $U$ es ortogonal: de hecho $U=H\otimes X$ y $U^2=I$.

Paseo aleatorio. $A^2e_1=(\tfrac12,0,\tfrac12,0)$: tras dos pasos el sistema está en el vértice 1 o en el 3 con probabilidad $\tfrac12$.

Con amplitudes. $Ue_1=\tfrac1{\sqrt2}(0,1,0,1)$ (probabilidades $0,\tfrac12,0,\tfrac12$) y $U^2e_1=e_1$: tras dos pasos el sistema vuelve con certeza al vértice 1.

Dónde está la diferencia. Para llegar del vértice 1 al 3 en dos pasos hay dos caminos, por el 2 y por el 4. Con probabilidades valen $\tfrac14$ cada uno y suman $\tfrac12$. Con amplitudes valen $U_{32}U_{21}=\tfrac12$ y $U_{34}U_{41}=-\tfrac12$ y suman 0: se cancelan. Para volver al vértice 1 valen $\tfrac12$ y $\tfrac12$ y suman 1. Lipton–Regan resumen el contraste así: las matrices son unitarias y no estocásticas, las entradas son raíces cuadradas de probabilidades y los negativos sirven para cancelar (p. 23).

Predice antes de simular

Antes de ejecutar el código de la sección siguiente (o de usar el widget que viene después), predice y apunta tu respuesta:

1. Aplicas $H$ tres veces a $|0\rangle$. ¿Qué probabilidades obtienes?
2. Aplicas la moneda $M$ tres veces a $|0\rangle$. ¿Y ahora?
3. Aplicas $H$, mides, y aplicas $H$ otra vez. ¿Qué distribución obtienes y en qué se diferencia de aplicar $H$ dos veces sin medir?

Código verificado

Este código se ejecuta con NumPy 2.5.4 (Python 3.13.5) y su salida es la que se muestra. El script verify/02-de-probabilidades-a-amplitudes.py comprueba además todas las cifras de esta lección y que el código y la salida mostrados coinciden.

import numpy as np

moneda = np.array([[0.5, 0.5],
                   [0.5, 0.5]])            # doblemente estocástica
H = np.array([[1, 1],
              [1, -1]]) / np.sqrt(2)       # ortogonal (unitaria real)
e0 = np.array([1.0, 0.0])                  # el estado |0>

# Dos pasos con la moneda: se multiplican probabilidades y se suman caminos no negativos
print("moneda, 2 pasos:", moneda @ moneda @ e0)

# Dos pasos con H: se suman amplitudes (con signo) y al final se aplica la regla de Born
a = H @ H @ e0
print("H, 2 pasos, amplitudes:", np.round(a, 12) + 0.0)
print("H, 2 pasos, probabilidades:", np.round(a ** 2, 12) + 0.0)

# Mismas probabilidades, distinto estado: |+> y |->
mas, menos = H @ e0, H @ np.array([0.0, 1.0])
print("probabilidades de |+> y |->:", np.round(mas ** 2, 12), np.round(menos ** 2, 12))
print("tras H, |+> da", np.round((H @ mas) ** 2, 12) + 0.0, "y |-> da", np.round((H @ menos) ** 2, 12) + 0.0)

moneda, 2 pasos: [0.5 0.5]
H, 2 pasos, amplitudes: [1. 0.]
H, 2 pasos, probabilidades: [1. 0.]
probabilidades de |+> y |->: [0.5 0.5] [0.5 0.5]
tras H, |+> da [1. 0.] y |-> da [0. 1.]

Widget

Dos paneles parten de $|0\rangle$. En el de la izquierda, cada paso aplica la moneda $M$ a un vector de probabilidades. En el de la derecha, cada paso aplica $H$ a un vector de amplitudes y se muestran las probabilidades que da la regla de Born. En el panel de amplitudes puedes además medir y elegir el resultado: el estado pasa a ser el de ese resultado y se ve cómo desaparece la interferencia. El widget solo repite las cuentas de esta lección, no participa en el Repaso, y se maneja con el teclado (Tab para moverte entre botones, Intro o Espacio para pulsar). Sus resultados se han comprobado contra NumPy.

Errores frecuentes y límites

• «La amplitud es una probabilidad con signo.» No: la probabilidad es el cuadrado de la amplitud, y se calcula al final. Las amplitudes no se miden directamente.
• Olvidar normalizar. $(1,1)$ no es un estado; $(1,1)/\sqrt2$ sí. Si $\sum a_i^2\ne1$, las "probabilidades" no suman 1.
• «$H$ es una moneda justa.» Con una medida, $H|0\rangle$ da $(\tfrac12,\tfrac12)$ igual que la moneda, pero $H$ aplicada dos veces vuelve al inicio y la moneda no (Proposición 1).
• Confundir estocástica con unitaria. La primera conserva la 1-norma de vectores no negativos y casi nunca se puede deshacer; la segunda conserva la 2-norma y siempre se deshace (Proposiciones 2 y 3).
• «Mismas probabilidades, mismo estado.» Falso con amplitudes: $|+\rangle$ y $|-\rangle$ se distinguen con $H$. El signo global sí es irrelevante; el relativo no.
• «El fotón recorre ambos caminos a la vez.» Es una forma de hablar del modelo de amplitudes, no un resultado: el modelo da cuentas (sumar amplitudes por caminos) y las probabilidades que se observan. Imre–Balázs la presentan así (p. 11); aquí se trata como interpretación, no como resultado. De las cuentas de esta lección no se sigue, ni en esta ni en las lecciones siguientes, que un ordenador cuántico "pruebe todas las soluciones a la vez".
• «Medir no cambia nada.» Medir en medio destruye la interferencia (sección 7).

Límites de la lección. Solo hay números reales; los complejos y la fase, en A3. Describe un sistema aislado y sin ruido; no trata hardware. La incertidumbre clásica sobre estados (mezclas) y la medida general quedan para A4 y A5. El argumento de la norma 2 (sección 8) es un resultado matemático citado y una heurística, no una derivación de la naturaleza.

Ejercicios

Ejercicio 1. Sea $R=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$, la rotación de 45° de Aaronson. Calcula $R|0\rangle$, $R^2|0\rangle$ y $R^4|0\rangle$. ¿Es $R^2=I$? ¿Es $R$ estocástica? ¿Cuántas veces hay que aplicarla para volver a $|0\rangle$?